程式設計基礎篇 · 查詢與排序

二分查詢：猜數字遊戲的最優解

上一課那條最省心的綠線 O(log n)，今天揭開它的真面目。你小時候玩過「我想了個 1 到 100 的數，你猜」嗎？猜數字的最優策略，就是電腦科學裡最經典的演算法之一——二分查詢。先玩，再講理。

互動一 · 猜數字遊戲

系統已經想好了一個 1 到 100 之間的數。下面的條帶就是全部候選：點任意數字開猜，我會告訴你大了還是小了，被排除的數字會自動變灰。先按直覺亂猜一局記下次數，再點「按二分猜」看標準答案。留意：二分每猜一次，亮著的區域正好砍掉一半。

點條帶上任意數字，開始猜 → 0次

為什麼最多 7 次？100 個候選，砍一半剩 50，再砍剩 25、12、6、3、1……砍 7 次必然只剩一個。亂猜運氣差要猜幾十次，運氣再好也不穩定；二分不靠運氣，它給的是「最壞情況的保證」——這正是工程師最看重的東西。

互動二 · 十億條資料只要 30 次

「砍一半」的威力在資料大的時候才真正顯靈。點下面的資料量，看二分最多要猜幾次，再看那條「連續對摺」的動畫。留意：資料量翻一萬倍，次數只是從 7 漲到 20 出頭。

最多只需猜 7 次（log₂ n 向上取整）

100 條

粉色條 = 還沒排除的候選範圍。點上面的資料量按鈕，看它連續對摺。

猜數字遊戲能玩，是因為數字天然有大小順序——「大了」這個提示才有意義。換成一本頁碼被打亂的字典，翻到中間發現是「貓」，你完全不知道「狗」在左邊還是右邊，二分當場失效。所以想享受 O(log n) 的查詢，得先付出排序的成本——排序怎麼做、貴不貴，正是下一課的主角。

日常真身 · 你其實早就在用二分

📖

找「王」不會從第一頁翻起：先翻到中間，比一下拼音前後，直接扔掉一半——你手上的動作就是二分。

🔍

1000 個提交裡有一個引入了 bug？git 幫你自動跳到中間的提交測一下，好的砍前半、壞的砍後半，10 次內鎖定元兇。

🎯

「這瓶酒多少錢？」「高了」「低了」——綜藝裡的猜價環節，高手全在心裡做二分。除錯超參數時的手動逼近也是同款。